- Teacher: Абдурагимов Гусен Эльдерханович
Численные методы
Дисциплина «Численные методы» входит в базовую часть образовательной программы бакалавриата по направлению подготовки 01.03.02 - Прикладная математика и информатика.
Дисциплина реализуется на факультете математики и компьютерных наук кафедрой прикладной математики.
Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с ознакомлением с базовыми математическими моделями и освоением численных методов решения практических задач алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений, физики, техники и др., а также знакомством с современными направлениями развития численных методов.
Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций выпускника: общепрофессиональных – ОПК - 1 и профессиональных – ПК-2, ПК-3.
Преподавание дисциплины предусматривает проведение следующих видов учебных занятий: лекции, практические занятия, лабораторные занятия и самостоятельная работа.
Курс предусматривает проведение следующих видов контроля успеваемости в форме контрольных работ, коллоквиума и промежуточный контроль в форме зачета и экзамена.
- Преподаватель: Гаджиева Тамила Юсуповна
Теория вероятностей и математическая статистика
Курс предназначен для студентов второго года обучения
- Teacher: Кадиев Рамазан Исмаилович
Стохастический анализ
Содержание
1 Введение 6
1.1 Определение понятия случайного процесса и случай-ной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Основные классы случайных процессов . . . . . . . . . 9
2 Марковский момент 12
2.1 Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Связанные с марковскими моментами σ-алгебры . . . . 15
3 Марковские цепи 17
3.1 Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Определение и основные свойства марковских после-довательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Переходная вероятность за n шагов. Уравнение
Колмогорова–Чэпмена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Предельные, эргодические и стационарные распреде-ления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Классификация состояний марковских цепей на клас-сы сообщающихся состояний и циклические подклассы 23
3.5.1 Разбиение классов на циклические подклассы. . 24
3.6 Классификация состояний марковской цепи по асимп-тотическим свойствам переходных вероятностей p
(n)
ii
. . 28
3.6.1 Свойства возвратных состояний. . . . . . . . . . 29
3.6.2 Случай конечной марковской цепи. . . . . . . . . 34
3.7 О существовании предельных и стационарных распре-делений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.1 Случай конечной марковской цепи. . . . . . . . . 41
4 Процессы с непрерывным временем 42
4.1 Примеры измеримых выборочных пространств . . . . . 42
4.2 Условия регулярности процессов . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Виды непрерывности случайных процессов . . . . . . . 47
4.4 Процессы с независимыми приращениями . . . . . . . . 48
4.5 Винеровский процесс. Свойства траекторий . . . . . . . 53
4.5.1 Закон повторного логарифма для винеровских
процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3
5 Описание класса стохастически непрерывных одно-родных процессов с независимыми приращениями 58
5.1 Обобщённые пуассоновские процессы . . . . . . . . . . . 58
5.1.1 Свойства пуассоновского процесса . . . . . . . . 58
5.1.2 Построение обобщённого пуассоновского про-цесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Описание класса стохастически непрерывных однород-ных процессов с независимыми приращениями . . . . . 60
6 Стохастические интегралы от процессов с конечным
вторым моментом 64
6.1 Свойства ковариационных функций процессов с конеч-ными вторыми моментами . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Связь между непрерывностью автоковариационной
функции и непрерывностью процесса . . . . . . . . . . . 66
6.3 Стохастические интегралы в среднем квадратичном . . 67
7 Спектральное представление стационарных в широ-ком смысле процессов 72
7.1 Процессы с ортогональными приращениями . . . . . . . 72
7.2 Стохастический интеграл от процесса с ортогональны-ми приращениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3 Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.4 Свойства ковариационной фукнции стационарного в
широком смысле процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5 Спектральное представление для стационарных в ши-роком смысле процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8 Приложение. 83
- Teacher: Абдурагимов Гусен Эльдерханович
Численные методы
Раздел математики, имеющий дело с созданием и обоснованием численных алгоритмов для решения сложных задач различных областей науки, часто называют прикладной математикой; американцы применение численных методов к физическим задачам называют вычислительной физикой. Главная задача прикладной математики — фактическое нахождение решения с требуемой точностью; этим она отличается от классической математики, которая основное внимание уделяет исследованию условий существования и свойств решения.
В истории прикладной математики можно выделить три основных периода.
Первый начался 3—4 тысячи лет назад. Он был связан с ведением конторских книг, вычислением площадей и объемов, расчетами простейших механизмов; иными словами —с несложными задачами арифметики, алгебры и геометрии. Вычислительными средствами служили сначала собственные пальцы, а затем — счеты.
Исходные данные содержали мало цифр, и большинство выкладок выполнялось точно, без округлений.
Второй период начался с Ньютона. В этот период решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновеннымдифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. Вычисления выполнялись с округлением; нередко от результата требовалась высокая точность, так что приходилось сохранять до 8 значащих цифр.
Вычислительные средства стали разнообразнее: таблицы элементарных функций, затем — арифмометр и логарифмическая линейка; к концу этого периода появились неплохие клавишные машйны с электромотором. Но скорость всех этих средств была невелика, и вычисления занимали дни, недели и даже месяцы.
Третий период начался примерно с 1940 г. Военные задачи — например, наводка зенитных орудий на быстро движущийся самолет требовали недоступных человеку скоростей и привели к разработке электронных систем. Появились электронные вычислительные машины (ЭВМ).
Скорость даже простейших ЭВМ настолько превосходила скорость механических средств, что стало возможным проводить вычисления огромного объема. Это позволило численно решать новые классы задач; например, процессы в сплошных средах, описывающиеся уравнениями в частных производных.
Сначала для решения эти задач использовались численные методы, разработанные в «доэлектронный» период. Но применение ЭВМ быстро привело к переоценке методов. Многие старые методы оказались неподходящими для автоматизированных расчетов. Стали быстро разрабатываться новые методы, ориентированные прямо на ЭВМ (например, метод Монте-Карло).
Мощности ЭВМ быстро растут. Если в 50-е гг. в СССР вступила в строй первая «Стрела» со скоростью 2000 операций в секунду и памятью 1024 ячейки, то сейчас во многих вычислительных центрах страны работают БЭСМ-6 со скоростью в 300 раз больше и памятью в 30 раз больше. А наилучшие современные ЭВМ имеют скорость до 30 миллионов операций в секунду при практически неограниченной оперативной памяти с прямой адресацией. Становятся возможными расчеты все более сложных задач. Это служит стимулом для разработки новых численных методов.